|
1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл.
Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, по-верхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой парал-лельна оси Oz.
Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, назы-вается основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая ци-линдрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ог-раниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой .
Рис. 1
Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и оп-ределить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело.
Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определе-нии объёма тела:
1) если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей;
2) объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плос-костью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умножен-ной на высоту тела.
Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндриче-ское тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала пред-положим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что всюду в области D.
Рис. 2
Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на некоторое число n областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные облас-ти в каком-нибудь порядке, обозначим их через а их площади - через . Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на n кусков, соответствующих n частичным об-ластям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на n частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной области произ-вольную точку и заменим соответствующее частичное цилиндрическое те-ло прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной . В результате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен
Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объе-му построенного n-ступенчатого тела, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диа-метром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диа-метр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипса-его большой оси. Для круга приведен-ное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет озна-чать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямоугольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стяги-вается к своему основанию, т. е. к отрезку).
В соответствии со сказанным мы принимаем искомый объем V равным преде-лу, к которому стремится Vn при стремлении к нулю наибольшего диаметра частич-ных областей (при этом ):
К отысканию предела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме.
Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть - любая функция двух пе-ременных (не обязательно положительная), непрерывная в некоторой области D, ог-раниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке и составим сумму
|
|
Список использованной литературы.
1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович
Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для вту-зов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1971 г.,736с.
2. Н.С. Пискунов
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2:
Учебное пособие для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-560с.
3. В.С. Шипачёв
Высшая математика: Учебное пособие для втузов: - М: Наука,
Главная редакция физико-математической литературы.
|
На уровень вверх
Купить