Введение
Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии; но он не только символ, он - атом геометрии.
Почему именно треугольник можно считать атомом геометрии? Потому что предшествующие понятия - точка, прямая и угол - это неясные и неосязае-мые абстракции вместе со связанным с ними набором теорем и задач. Поэтому сегодня школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержа-тельной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появля-ется глубокое и всестороннее изучение треугольника.
Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не ос-мелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.
Из вышесказанного можно извлечь два следствия:
1. Изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника.
2. Ввиду многогранности треугольника как объекта изучения - а, значит, и источника различных методик его изучения - необходимо разрабатывать раз-личные подходы к его изучению.
Один из возможных подходов к изучению геометрии треугольника - изу-чение замечательных точек треугольника. Причем при разработке данного под-хода не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, преду-смотренными в школьной программе Государственным образовательным стан-дартом, такими как центр вписанной окружности, точка пересечения медиан и т.п. Но для глубокого проникновения в природу треугольника и постижения его многогранности необходимо иметь представления как можно о большем числе замечательных точек треугольника. Это совсем не означает, что всем школьни-кам на уроках геометрии необходимо преподавать материал, например, про точку Лемуара или точку Жергона; но любой школьник должен иметь принци-пиальную возможность прикоснуться к этому кладезю идей - либо через фа-культативные занятия, либо самостоятельно.
Помимо многогранности треугольника как геометрического объекта, не-обходимо отметить удивительнейшее свойство треугольника как объекта изу-чения: изучение геометрии треугольника можно начинать с изучения любого его свойства, взяв его за основу; затем методику изучения треугольника можно построить так, чтобы на эту основу нанизывать все остальные свойства тре-угольника. Другими словами, с чего бы ни начинать изучение треугольника, всегда можно дойти до любых глубин этой удивительной фигуры. Но тогда - как вариант - можно начинать изучение треугольника с изучения его замеча-тельных точек.
В виду вышесказанного, в данной дипломной работе заострим внимание не столько на том, что есть в любых школьных учебниках по геометрии, сколь-ко на том, чего в них нет - это, прежде всего, замечательные точки треугольни-ка, не изучаемые в школе; если же речь пойдет о школьном материале (напри-мер, о точке пересечения медиан), то будет показана его связь с материалом, не изучаемым в школе. Чтобы не быть голословным, приведем пример такой связи материалов.
1) Точка пересечения медиан (центроид) - это центр тяжести треугольни-ка (другими словами, сумма векторов, соединяющих точку пересечения медиан с вершинами треугольника, равна нулевому вектору).
2) Сумма квадратов расстояний от этой точки минимизирует сумму квад-ратов расстояний до вершин треугольника, а точка Лемуана (точка Лемуана - это точка, изогонально сопряжённая точке пересечения медиан, то есть точка пересечения прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис треугольника) минимизирует сумму квадратов расстояний до сто-рон.
3) Две замечательные прямые, содержащие центроид: прямая Эйлера (прямая Эйлера - это прямая, проходящая через центр описанной окружности, точку пересечения высот и центр окружности девяти точек) и прямая, прохо-дящая через центр вписанной окружности и точку Нагеля (точка Нагеля - это точка пересечения прямых, соединяющих точки касания вневписанных окруж-ностей треугольника с противоположными им вершинами треугольника).
4) Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответствен-но точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке, то сумма векторов AA'+BB'+CC' равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда A', B' и C' - середины сторон треугольника (доказательство использует теорему Чевы и теорему Паппа о центрах тяжести (теорема Паппа гласит: Пусть на сторонах (или их продолжениях) треугольника АВС взяты такие точки А', В' и С' соответственно, что АС':ВС'=ВА':СА'=СВ':АВ'. Тогда центры тяже-сти треугольников АВС и А'В'С' совпадают. Верно и обратное)).
5) Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на кото-рые медианы разбивают данный треугольник, лежат на одной окружности - ок-ружности Ламойена (Floor van Lamoen). Рассмотреть центры этих шести ок-ружностей придумал в 1998 году Кимберлинг (C.Kimberling), а существование окружности доказал Ламойен в 2002 году.
6) Если точка P пересечения чевиан AA', BB' и CC' треугольника ABC не является ни его центром тяжести, ни ортоцентром, то центры окружностей, описанных около шести треугольников AB'P, PB'C, CPA', A'PB, BPC' и C'PA, на которые чевианы разбивают данный треугольник, не лежат на одной окружно-сти. Последнее утверждение было доказано лектором в 2002 году. Журнал "Mathematical Monthly" сообщил в 2002 году, что редакция тоже располагает доказательством обратного утверждения, предложенным Питером Ву (Peter Woo, доказательство ещё не опубликовано).
Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки темы данно-го дипломного исследования.
Также, опираясь на вышесказанное, сформулируем цели и задачи на-стоящего дипломного исследования.
Целью работы является адаптация материала по геометрии замечатель-ных точек треугольника к преподаванию в средней школе (7-8 класс).
Для достижения этой цели в работе необходимо решить следующие зада-чи:
1) дать понятие замечательной точки треугольника и перечислить эти точки;
2) изложить геометрический материал - теорию, задачи с реше-ниями - по геометрии замечательных точек треугольника, как изучаемых, так и не изучаемых в школьном курсе геометрии;
3) создать методическую разработку уроков геометрии в рамках школьного курса 8 класса по учебнику С.И. Атанасяна
|