|
Нестационарные временные ряды
В большинстве случаев рассматривают регрессионные модели типа Y =X? + ?, в которых ряд остатков рассматривался как стационарный, а нестационарность самих рядов xt и уt, обуславливалась наличием неслучайной компоненты (тренда). После выделения тренда все ряды оказывались стационарными, причем стационарность считалась заранее известной, априорной. На практике, однако, такая ситуация редко имеет место. Между тем, включение в модель нестационарных рядов может привести к совершенно неверным результатам. В частности, стандартный анализ с помощью метода наименьших квадратов модели
yt = ? + ? xt + ? (1)
может показать наличие существенной значимости коэффициента ? даже в том случае, если величины хt и yt являются независимыми. Такое явление носит название ложной регрессии и имеет место именно в том случае, когда в модели используются нестационарные временные ряды.
Таким образом, при моделировании какой-либо зависимости между величинами xt и уt естественно возникает вопрос: можно ли считать соответствующие временные ряды стационарными?
Пусть имеется временный ряд yt, при этом считаем что в нем отсутствует неслучайная составляющая. Для простоты также будем считать, что среднее его значение равно нулю (очевидно, ряд остатков регрессионной модели удовлетворяет этим условиям).
Если ряд является стационарным, то в каждый следующий момент времени его значение «стремится вернуться к нулевому среднему». Иными словами, если объяснять значения yt предыдущим значением yt-1, то объясненная часть будет находиться ближе к нулю, чем значение yt-1.
Математически строго это условие можно сформулировать следующим образом: рассмотрим регрессионную модель
yt=?yt-1+?t (2)
Истинное значение параметра р должно удовлетворять условию |р|<1. В случае, если р=1, мы имеем ситуацию, когда последующее значение одинаково легко может как приближаться к нулевому среднему, так и отдаляться от него. Соответствующий случайный процесс называется «случайным блужданием». Очевидно, дисперсия в этом случае растет. В самом деле, из равенства (2) имеем:
D(yt) = D(yt-1)+? 2t
т.е. дисперсия D(yt) неограниченно возрастает, а значит, ряд yt не является стационарным.
Разумеется, в случае |р| > 1 ряд тем более не будет стационарным, значения его стремительно нарастают. Соответствующий процесс иногда называется взрывным. Однако в реальных экономических задачах он никогда не возникает.
Практика показывает, что чаще всего в эконометрических исследованиях нестационарность рассматриваемого временного ряда носит именно характер случайного блуждания. Таким образом, вопрос о нестационарности ряда уt, как правило, сводится к следующему: верно ли, что в регрессии yt=?yt-1+?t истинное значение параметра р равно единице? Соответствующая задача называется проблемой единичного корня.
Итак, пусть имеется временной ряд yt. Рассмотрим модель авторегрессии
yt=?yt-1+?t (3)
Будем предполагать, что ошибки регрессии ?t независимы и одинаково распределены, т. е. образуют белый шум. Переходя к разностным величинам, перепишем соотношение (3) в виде:
? yt=?yt-1+?t, (4)
где ? yt =yt - yt-1, ? = р-1.
Тогда проблема единичного корня сводится к следующей: верно ли, что в модели (4) истинное значение параметра X равно нулю?
На первый взгляд кажется, что вопрос может быть решен тестированием гипотезы ?.=0 с помощью статистики Стьюдента. Однако ситуация оказывается сложнее. В том случае, если ряд yt на самом деле нестационарный, т. е. если на самом деле ? = 0, стандартная t-статистика вида не имеет распределения Стьюдента.
Распределение t-статистики в этом случае описано Дики и Фуллером. Ими же получены критические значения для отвержения гипотезы о нестационарности ряда. Они существенно отличаются от критических значений распределения Стьюдента. В результате оказывается, что использование обычного теста приводит к тому, что гипотеза о нестационарности временного ряда отвергается слишком часто, в том числе и тогда, когда ряд действительно является нестационарным.
Таким образом, проблему единичного корня следует решать с помощью теста Дики—Фуллера, который реализован в большинстве современных регрессионных пакетов. В «Econometric Views» присутствует так называемый пополненный тест Дики- Фуллера (Augmented Dickey-Fuller test — ADF). Он является обобщением обычного теста Дики- Фуллера: в правую часть выражения (4) добавляются слагаемые вида ? yt-1, ..., ? yt-p, т. е. тестируется гипотеза ? = 0 для модели
|
На уровень вверх
Купить