Теория множеств.

Задача №1.

Даны три множества

Найти:

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

Ж)

Элементы математического анализа

Задача №2.

Вычислить площадь, ограниченную линиями

Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds как площадь прямоугольника, у которого высота это разность ординат параболы и прямой , а основание dx.

Найдем точки пересечения прямой и параболы, решив совместно систему уравнений:

Следовательно,

Задание 3. Исследовать функцию и построить ее график.

a)

1. Областью определения данной функции, есть вся числовая ось

2. Область значений функции вся числовая ось

3. Функция не имеет точек разрыва.

4.

Функция четная, значит, график функции симметричен относительно оси ординат

5. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так, как функция определена на всей числовой оси.

б)

не вертикальная асимптота графика функции.

6. Точки пересечения с осями. При .

График функции не пересекает оси Ох.

При

Уравнение не имеет решения

7.

в точке , которая является критической

Исследуем данную точку по знаку слева и справа от нее

x (-?,0) 0 (0, ?)

y

1

- min +

8. Найдем

=0

=0 при х=0, эти точки могут быть точками перегиба

Исследуем эти точки по знаку слева и справа от них

x (-?, )

(

y

- Точка. п + Точка. п -

9. Используя полученные результаты, строим график функции.

Элементы комбинаторики.

Правила сложения и умножения

Задача №4.

7. В первенстве области по баскетболу участвуют команды из 11 районов. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только четыре определенные команды.

Перестановки, размещения, сочетания.

Задача №5.

7. Сколькими способами можно группу из 20 человек разбить на две подгруппы по 10 человек?

Число способов равно числу комбинаций с 20 элементов по 10

Теория вероятностей.

Формула полной вероятности.

Задача №6.

7. Имеется две партии по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой коробки, переложено во вторую, после чего выбирается изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

Возможны следующие гипотезы:

B1 – С первой коробки взяли стандартное изделие.

B2 – С первой коробки взяли бракованное изделие.

Найдем вероятность того, что извлекли бракованное изделия из второй партии, в зависимости от гипотез

Следовательно, вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии по формуле полной вероятности равна

Формула Бейеса.

Задача 7.

7. Один из четырех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелков равны соответственно 0,2, 0,7, 0,9 и 0,8. Мишень поражена. Найти вероятность того, что выстрел произведен четвертым стрелком.

Возможны следующие гипотезы:

B1 – Стрелял первый стрелок.

B2 – Стрелял второй стрелок.

B3 – Стрелял третий стрелок

B4 – Стрелял четвертый стрелок

Все гипотезы равноценны поэтому

Вероятность того, что мишень поражена, найдем по формуле полной вероятности:

Вероятность того, что выстрел произведен четвертым стрелком, найдем по формуле Бейеса:

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Задача №8.

7. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятность отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны . Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми.

Так как вероятности отказа за время Т одинаковы и постоянны и нет разницы, в какой последовательности элемент выйдет из строя то можно применить формулу Бернулли.

Вероятность того, что откажут 0 элементов

Вероятность того, что откажет 1 элемент

Вероятность того, что откажет 2 элемента

Вероятность того, что откажет менее 3 элементов( прибор будет работоспособен)

Вероятность выхода из строя прибора

Элементы математической статистики.

Дискретная случайная величина.

Задача №9.

7. Дискретная случайная величина Х может принимать только два возможных значения , причем . Известны вероятность возможного значения , того, что Х примет значение равна , математическое ожидание и дисперсию . Найти закон распределения этой случайной величины

Используя, что Найдем . Следовательно закон распределения будет

х

Р 0,8 0,2

Математическое ожидание находится по формуле , а дисперсия

Получим систему уравнений

Решив эту систему, найдем два решения

и

Учитывая, что х2> х1

Запишем искомый закон распределения

Х 3 4

Р 0,8 0,2

Нормальный закон распределения случайной величины.

Задачи №10.

7. Случайные ошибки измерения распределены нормально с параметрами . Найти вероятность того, что при двух независимых наблюдениях ошибка хотя бы одного не превзойдет по модулю 1, 28 мм

Воспользуемся формулой:

Следовательно

Интервальный статистический ряд. Гистограмма.

Эмпирическая функция распределения.

Задача №11

7. Результаты исследования непрерывной случайной величины представлены в виде интервального статистического ряда. Построить гисторамму частот, относительных частот и эмпирическую функцию распределения.

Х 43-53 53-63 63-73 73-83 83-93

nі 52 95 57 77 0

0,185 0,338 0,203 0,274 0

Плотность частоты 5,2 9,5 5,7 7,7 0

Плотность относительной частоты 0,0185 0,0338 0,0203 0,0274 0

Х<53 наблюдалось 52 раз, поэтому

Х<63 наблюдалось 147 раз, поэтому

Х<73 наблюдалось 204 раз, поэтому

Х<83 наблюдалось 281 раз, поэтому

Х<93 наблюдалось 281 раз, поэтому

Точечные оценки распределения.

Задача №12.

Даны результаты измерений случайной величины. Найти: а) выборочное среднее, б) выборочную дисперсию, в) исправленную дисперсию

1. Объем выборки n=80.

Размах выборки 19-0=19

2. Разобъем ряд на 5 интервалов:

Х 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20

n 16 20 11 20 13

4. Возьмем в качестве вариант середины интервалов и составим расчетную таблицу:

Х 2 6 10 14 18

n 16 20 11 20 13

xi ni xini x2

2 16 32 4 64

6 20 120 36 720

10 11 110 100 1100

14 20 280 196 3920

18 13 234 324 4212

? 80 776 660 10016

Дисперсию найдем по формуле:

Исправленная выборочная дисперсия

Примечаний нет.