А) Доказать равенство множеств

(А В) U С = (А U С) (В U С)

Решение.

Докажем равенство методом встречных включений.

(А В) U С , (А U С) (В U С)

1. Докажем:

Пусть некоторый элемент . . По определению объединения множеств получим: . По определению пересечения множеств . Отсюда получим: ? ? , т.е. . Значит, .

2. Докажем:

Пусть некоторый элемент . . По определению пересечения множеств получим: . По определению объединения множеств . Отсюда получим: ? ? , т.е. . Значит, .

3. что и требовалось доказать

Б) Построить таблицу значений или истинности для h:

т т

h = ? f > g, где f = [00111010] , g = [01001101]

Решение.

0 0 1 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

0 1 1 1

h = [0111 1111]T

В) Вычислить по формулам комбинаторики

m n

R = P - C + A n = 1; m = 2

n n m

Решение.

По определению:

, ,

Вычислим

, - нарушено условие

Т.к. невозможно вычислить , то задача не имеет решения.

Г) Найти матрицы смежности и инциденций графа, построить дерево-остов графа Эйлеров цикл ( если существует) и Гамильтонов путь.

Решение.

Матрица смежности вершин

Вершины v1 v2 v3 v4 v5

v1 0 1 1 1 1

v2 1 0 1 1 0

v3 1 1 0 1 1

v4 1 1 1 0 1

v5 1 0 1 1 0

Матрица инциденций

1 ставится, если ребро инцидентна вершине;

0 ставится, если ребро не инцидентна вершине.

Обозначим ребра: , , , , , , , ,

v1 1 1 0 0 0 0 1 1 0

v2 1 0 0 0 1 1 0 0 0

v3 0 1 1 0 0 1 0 0 1

v4 0 0 0 1 1 0 1 0 1

v5 0 0 1 1 0 0 0 1 0

Гамильтонов путь: .

Построим дерево-остов графа.

Линейная алгебра и Математическое программирование

( МАРИНА тел. 8-916-524-35-02))

1. Заданы векторы а = (N, M, 2-N), b = (N-5, -M, N-6), где М=2, N=15

А) Вычислить скалярное и векторное произведения двух векторов а и b.

В) Вычислить векторы с = 2а-b и d= -а+3b, проверить их ортогональность и коллинеарность.

Решение.

А) Скалярное произведение между двух векторов , находится по формуле:

Координаты векторов , .

,

.

Тогда =29.

Вычислим векторное произведение векторов:

Б) Вычислить векторы с = 2а-b и d= -а+3b.

Вычислим скалярное произведение векторов

= –1148 , следовательно, векторы не ортогональны.

Найдем отношения соответствующих координат:

– векторы не коллинеарные.

2. Задана система из трех уравнений:

х + 2 х - (1+1) х = 15

1 2 3

- х - х + (1+0) х = 15 + 2

1 2 3

х + 2 х + (1+1) х = 15 - 2

1 2 3

А) Решить систему по правилу Крамера.

Б) Записать систему в матричном виде и решить с помощью обратной матрицы.

Решение.

Найдем решение системы с помощью формул Крамера. Воспользуемся формулами:

, ,

где – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

= ;

;

;

.

Найдем , , .

Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме ,

где , , .

Решение системы в матричной форме имеет вид , где – матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле

= , где = 4 , – алгебраическое дополнение к элементу.

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Обратная матрица имеет вид: = .

Найдем решение системы.

= = = .

Ответ: (–49, 31,5, –0,5).

3.Решить геометрически задачу линейного программирования:

2х + ( 0+ 1 )у>MAX

х + 2 у ? 9+ 0

2х + у ? 15 – 3

- х + у ? 1+ 2

х, у ? 0

Решение.

Найти при ограничениях

Решим задачу графически.

Построим многоугольник решений. Построим прямые:

; ; .

Определим полуплоскости, в которых выполняется неравенство.

Областью допустимых решений является пятиугольник .

Далее строим вектор наискорейшего возрастания целевой функции – вектор градиентного направления.

Перпендикулярно этому вектору проводим линию уровня . Параллельным перемещением прямой , приходим к выводу, что функции достигает максимума на отрезке . Найдем координаты точки D.

; .

.

Ответ: 13

4. Решить транспортную задачу с двумя складами емкостью

а = 15+2, а = 40-15 и тремя пунктами назначения с

1 2

потребностями b = 5+2, b = 15, b = 35-15

1 2 3

Месяца сij

b1 b 2 b3

а1 20+ 9 х 0 10-1 2-10

а2 2-20 15 15+10

С = сij - матрица стоимостей перевозок ед. продукции из склада емкостью аi в пункт назначения с потребностью b j.

(При решении применять правило северо-западного угла)

Решение.

Проверим условие закрытости модели: 17+25 = 42; 7+15+20 = 42.

Условие закрытости модели выполняется.

Опорный план найдем методом северо-западного угла.

Пункты отправления Пункты назначения Запас груза

20 9 -8 17

7 10

-18 15 25 25

5 20

Потребность в грузе

7 15 20

Таким образом опорный план имеет вид:

805 ден. ед.

Ответ: 805 ден.ед.

Примечаний нет.