Введение. 3

Глава I. Справочные материалы. 5

1.1. Используемые обозначения 5

1.2. Определения и теоремы. 6

Глава II. Группы подстановок. 9

2.1 Перестановки (подстановки). 9

2.2 Операции на подстановках. 12

2.3. Разложение подстановок, циклы, транспозиции. 15

2.4. Четность и знак подстановки. 23

2.6. Теорема Кэли. 30

2.7. История развития теории групп подстановок. 33

Глава III. Знакопеременные группы и их подгруппы. 36

3.1. Подгруппы групп A3. 36

3.2. Подгруппы группы А4. 37

3.3. Подгруппы группы A5. 38

Заключение. 45

Приложения. 49

Таблицы числа подгрупп групп перестановок. 49

Компьютерная программа, используемая в данной работе. 50

Список литературы. 56

Решая задачи абстрактной теории групп, для подтверждения или опро-вержения каких-либо предположений нередко приходится пользоваться кон-кретными группами.

Важным разделом теории групп является теория конечных групп. Выде-ление этого класса групп отдельным объектом рассмотрения объясняется как тем, что конечные группы часто встречаются при конкретных математических исследованиях, так и тем, что свойство конечности влечёт за собой ряд важных дополнительных свойств, которыми произвольные группы могут и не обладать.

Среди конечных групп особое место занимают группы подста-новок. Именно на базе их исследования и развилась в дальнейшем теория конечных групп.

Данная работа посвящена практическому применению абстрактной теории групп для нахождения структуры подгрупп знакопеременных групп (n=3,4,5). Эта задача довольно легко выполнима при и , но уже при становится затруднительной в связи с большим числом элементов груп-пы (60) и ещё большим числом подгрупп. Применение элементов абстрактной теории групп значительно упростило работу, но, несмотря на это, нахождение структуры подгрупп было связано с практическими вычислениями, большая часть из которых была произведена при помощи ЭВМ.

Целью работы является построение диаграмм структур знакопеременных групп В связи с поставленной целью предстоит решить следующие задачи: изучить литературу по теории групп и подстановок; составить программу позволяющую определить, является ли заданное множество подстановок под-группой или нет.

Полученная в работе структура подгрупп знакопеременных групп мо-жет быть использована в дальнейшем для анализа структуры произвольных ко-нечных групп небольших порядков. По теореме Кэли любая конечная группа представима подстановками, а значит, ряд групп представим четными подста-новками. Таким образом, задача нахождения структуры подгрупп для таких групп, сводится к рассмотрению уже известной структуры подгрупп знако-переменных групп.

Данные, полученные в работе, позволяют решать и обратную задачу: построение группы с уже заданными свойствами операции, на основе изученных свойств операции умножения перестановок.

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.:2001.-272 с.

2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.:2001.-272 с.

3. Петрова В. Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов: В 2 ч.-М.: Часть I.-1999.-312 с.

4. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.-560 с.

5. Мантуров О.В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1986. -480 с.

6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука Гл. ред. физмат. Лит., 1965. -432 с.

7. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физмат. Лит., 1980. - 336 с.

8. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры.- М.: Наука. Гл. ред. физмат. Лит., 1975.- 400 с.

9. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре.- М.: Наука. Гл. ред. физмат. Лит., 1984.-416 с.

10. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: Учеб-ное пособие.- Гомель: УО "ГГУ им. Ф. Скорины", 2003.-320 с.

11. Каргаполов М. И. , Мензляков Ю. И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

12. Холл Ф. Теория групп. - ИЛ, 1962. - 468 с.

13. Курош А. Г. Теория групп, 4-е изд. - М.: изд. "Лань"1967. -648 с.

14. Александров П. С. Введение в теорию групп, 2-е изд. - М.:2004. -128 с.

15. Шнеперман Л. Б.Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. - М.: Часть II. Высшая школа, 1987. -256 с.

Примечаний нет.