Содержание

Введение 3

§1 Дифференциальные уравнения гипергеометрического типа 5

§2 Гипергеометрические функции 6

2.1 Определение функции 6

2.2 Гипергеометрическое дифференциальное уравнение и его решение с

помощью рядов 9

§3 Гипергеометрический ряд 11

3.1 Гипергеометрический ряд и его аналитическое продолжение 12

§4 Элементарные свойства гипергеометрической функции 15

§5 Гипергеометрическая функция, рассматриваемая как функция своих

параметров. 17

§6 Рекуррентные соотношения для гипергеометрической функции 18

§7 Функциональные соотношения для гипергеометрической функции 19

§8 Приложения функций гипергеометрического типа 23

8.1 Представление элементарных функций через гипергеометрическую

функцию 23

8.2 Решение уравнения Гельмгольца в криволинейных системах координат 24

8.3 Определенные интегралы, содержащие функции гипергеометрического

типа 26

8.4 Представление эллиптических интегралов через гипергеометрическую

функцию 27

Заключение 28

Литература

Введение

Гипергеометрическая функция - обобщение геометрической - прогрессии обладает рядом замечательных свойств, благодаря которым она привлекала внимание математиков в течении по крайней мере двух веков.

Изучение этой функции привело Гаусса к исследованию вопроса сходимости рядов, Римана - к задаче об аналитическом продолжении и к изучению дифференциальных уравнений с особыми точками

Гипергеометрическим функциям посвящен целый ряд фундаментальных исследований. Она реализует примитивную мечту философов о философском камне. Правда, в миниатюру - только для элементарных функций и то не для всех. Вполне естественно, что функция со столь интересными свойствами занимала умы математиков. Прежде всего изучали свойства ряда по степеням z.

Название "гипергеометрический" этому ряду дал Валлис в 1655 году. Позже его изучали Эйлер и Куммер. Однако, до работы Гаусса этот ряд нельзя было назвать функцией в современном понимании этого слова. Гаусс доказал сходимость гипергеометрического ряда и, следовательно, существование гипергеометрической функции.

Тем не менее проблемы оставались и после работ Гаусса. Гипергеометрический ряд сходится лишь в единичном круге на комплексной плоскости, в то время, как гипергеометрическая функция может быть аналитически продолжена и за границу этого круга. Проблема - построить аналитическое продолжение гипергеометрической функции на всю комплексную плоскость. Такое аналитическое продолжение гипергеометрической функции можно сделать, изучив свойства решений дифференциального уравнения для гипергеометрической функции. Это уравнение названо гипергеометрическим, оно изучалось Риманом.

В настоящее время решение многих важных задач теоретической и математической физики связано с изучением различных специальных функций. Наиболее употребляемая из них гипергеометрическая функция.

В курсовой работе рассматриваются общие вопросы гипергеометрической функции и уравнений гипергеометрического типа. Также отдельный параграф посвящен приложениям гипергеометрических функций к некоторым проблемам математической физики и математического анализа, однако выбор задач рассчитан главным образом на то, чтобы проиллюстрировать различные стороны применения аппарата гипергеометрических функций. Вместе с тем рассматриваются задачи, относящиеся к наиболее простым приложениям гипергеометрической функции.

Литература

1. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу. М., Наука, 1999.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1963.

3. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, 1948.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., Наука, 1973.

5. Клейн Ф. Развитие математики в XIX столетии. М., Наука, 1974.

6. Лебедев Н.н. Специальные функции и их приложения. Гос. из-во физ.-мат. литературы. М., 1963.

7. Никифоров Л.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. Учебное пособие. Главная редакция физ.-мат. литературы. М., 1963.

8. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М., Наука, 1990.

9. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1961.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математике. Т. I. М., Наука, 1974.

Примечаний нет.