По таблице находим, что при ? = 0,05 и k=m(m-1)/2=1 находим ?20,95,1=3,841. Т.к. ?2< ?20,95,1, то гипотеза об отсутствии мультиколлинеарности не отвергается при уровне значимости 0,05.

Задача 1.

i у xi1 xi2

1 8,3 6,0 88

2 17,9 3,0 160

3 11,2 5,0 105

4 17,2 4,0 165

5 9,4 5,5 88

6 15,9 4,0 145

7 6,8 7,0 95

8 10,8 6,0 124

9 15,6 5,0 165

10 13,8 3,5 112

11 15,3 3,0 120

12 14,4 4,5 145

13 15,6 3,5 140

14 10,6 7,0 145

15 11,2 5,5 120

16 13,4 4,5 132

Решение.

1.1 Парные зависимости

Построим поле рассеяния (рис. 1). На основе анализа поля рассеяния на основе табл. 1 (рис.1)

выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены у от возраста автомобиля х1, описывается линейной моделью вида:

Аналогично на основе анализа поля рассеяния на основе табл. 1 (рис.2)

выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены у от мощности автомобиля х2, описывается линейной моделью вида:

1.2 Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 1

i y x1 x12 ух1 x2 х22 ух2 у2

1 8,3 6,0 36,0 49,8 88 7744,0 730,4 68,9

2 17,9 3,0 9,0 53,7 160 25600,0 2864 320,4

3 11,2 5,0 25,0 56 105 11025,0 1176 125,4

4 17,2 4,0 16,0 68,8 165 27225,0 2838 295,8

5 9,4 5,5 30,3 51,7 88 7744,0 827,2 88,4

6 15,9 4,0 16,0 63,6 145 21025,0 2305,5 252,8

7 6,8 7,0 49,0 47,6 95 9025,0 646 46,2

8 10,8 6,0 36,0 64,8 124 15376,0 1339,2 116,6

9 15,6 5,0 25,0 78 165 27225,0 2574 243,4

10 13,8 3,5 12,3 48,3 112 12544,0 1545,6 190,4

11 15,3 3,0 9,0 45,9 120 14400,0 1836 234,1

12 14,4 4,5 20,3 64,8 145 21025,0 2088 207,4

13 15,6 3,5 12,3 54,6 140 19600,0 2184 243,4

14 10,6 7,0 49,0 74,2 145 21025,0 1537 112,4

15 11,2 5,5 30,3 61,6 120 14400,0 1344 125,4

16 13,4 4,5 20,3 60,3 132 17424,0 1768,8 179,6

Сумма 207,4 77 395,5 943,7 2049 272407 27603,7 2850,6

Среднее 12,96 4,81 24,72 58,98 128,06 17025,44 1725,23 178,16

.

.

Таким образом,

Аналогично

Таким образом, .

1.3 Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

В нашей задаче

Для :

условие (1.8) выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля, и существует сильная отрицательная связь между у и х1.

Для :

условие (1.8) выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля, и существует сильная положительная связь между у и х2.

1.4

Найдем коэффициент детерминации:

,

Т.е. вариация цены автомобиля на 74% объясняется вариацией возраста автомобиля.

,

Т.е. вариация цены автомобиля на 67,2% объясняется вариацией мощности двигателя.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики:

для зависимости у от х1.

для зависимости у от х2.

Табличное значение Fт = 4,6, тогда зависимости у от х1 выполняется неравенство Fт

Для зависимости у от х2 выполняется неравенство Fт

Для зависимости у от х1 получаем:

. Это значение по модулю равно выборочному значению t для , найденному выше. Поскольку это значение больше 1,761, то отвергаем нулевую гипотезу равенства нулю ?1.

Для зависимости у от х2 получаем:

. Это значение по модулю равно выборочному значению t для , найденному выше. Поскольку это значение больше 1,761, то отвергаем нулевую гипотезу равенства нулю ?1.

1.5 Рассмотрим первое уравнение парной регрессии . Дополним вспомогательную таблицу новыми колонками:

Таблица 2

i y x1 У^ у-у^ (у-у^)2 (x1-x1ср) (x1-x1ср)2 Корень 1,761Sу^ y^H y^B

1 8,3 6,0 10,32 -2,02 4,08 1,19 1,41 0,33 0,58 9,74 10,90

2 17,9 3,0 16,86 1,04 1,08 -1,81 3,29 0,41 0,72 16,14 17,58

3 11,2 5,0 12,50 -1,3 1,69 0,19 0,04 0,25 0,44 12,06 12,94

4 17,2 4,0 14,68 2,52 6,35 -0,81 0,66 0,29 0,51 14,17 15,19

5 9,4 5,5 11,41 -2,01 4,04 0,69 0,473 0,28 0,49 10,92 11,90

6 15,9 4,0 14,68 1,22 1,49 -0,81 0,66 0,29 0,51 14,17 15,19

7 6,8 7,0 8,14 -1,34 1,80 2,19 4,79 0,47 0,82 7,32 8,96

8 10,8 6,0 10,32 0,48 0,23 1,19 1,41 0,33 0,58 9,74 10,90

9 15,6 5,0 12,50 3,1 9,61 0,19 0,04 0,25 0,44 12,06 12,94

10 13,8 3,5 15,77 -1,97 3,88 -1,31 1,72 0,34 0,61 15,16 16,38

11 15,3 3,0 16,86 -1,56 2,43 -1,81 3,29 0,41 0,72 16,14 17,58

12 14,4 4,5 13,59 0,81 0,66 -0,31 0,10 0,26 0,45 13,14 14,04

13 15,6 3,5 15,77 -0,17 0,03 -1,31 1,72 0,34 0,61 15,16 16,38

14 10,6 7,0 8,14 2,46 6,05 2,19 4,79 0,47 0,82 7,32 8,96

15 11,2 5,5 11,41 -0,21 0,04 0,69 0,47 0,28 0,49 10,92 11,90

16 13,4 4,5 13,59 -0,19 0,04 -0,31 0,10 0,26 0,45 13,14 14,04

Сумма 207,4 77 206,54 0,86 43,50 0 24,94

Среднее 12,96 4,81 12,91 0,05 2,72 0,00 1,56

Сумма квадратов отклонений , , что совпадает с найденным ранее значением.

Рассмотрим второе уравнение парной регрессии . Дополним вспомогательную таблицу новыми колонками:

Таблица 3

i y x2 у^ у-у^ (у-у^)2 x2-x2ср (x2-x2ср)2 Корень 1,761S y^H y^B

1 8,3 88,0 9,19 -0,89 0,79 -40,06 1605,00 0,47 0,83 8,36 10,02

2 17,9 160,0 17,11 0,79 0,62 31,94 1020,00 0,41 0,71 16,40 17,82

3 11,2 105,0 11,06 0,14 0,02 -23,06 531,88 0,34 0,60 10,46 11,66

4 17,2 165,0 17,66 -0,46 0,21 36,94 1364,38 0,45 0,79 16,87 18,45

5 9,4 88,0 9,19 0,21 0,04 -40,06 1605,004 0,47 0,83 8,36 10,02

6 15,9 145,0 15,46 0,44 0,19 16,94 286,88 0,30 0,53 14,93 15,99

7 6,8 95,0 9,96 -3,16 9,99 -33,06 1093,13 0,41 0,73 9,23 10,69

8 10,8 124,0 13,15 -2,35 5,52 -4,06 16,50 0,25 0,45 12,70 13,60

9 15,6 165,0 17,66 -2,06 4,24 36,94 1364,38 0,45 0,79 16,87 18,45

10 13,8 112,0 11,83 1,97 3,88 -16,06 258,00 0,30 0,52 11,31 12,35

11 15,3 120,0 12,71 2,59 6,71 -8,06 65,00 0,26 0,46 12,25 13,17

12 14,4 145,0 15,46 -1,06 1,12 16,94 286,88 0,30 0,53 14,93 15,99

13 15,6 140,0 14,91 0,69 0,48 11,94 142,50 0,28 0,49 14,42 15,40

14 10,6 145,0 15,46 -4,86 23,62 16,94 286,88 0,30 0,53 14,93 15,99

15 11,2 120,0 12,71 -1,51 2,28 -8,06 65,00 0,26 0,46 12,25 13,17

16 13,4 132,0 14,03 -0,63 0,40 3,94 15,50 0,25 0,45 13,58 14,48

Сумма 207,4 2049 217,55 -10,15 60,12 0 10006,94

Среднее 12,96 128,06 13,60 -0,63 3,76 0,00 625,43

Сумма квадратов отклонений , , что совпадает с найденным ранее значением.

1.6 На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст года, мощность двигателя л.с.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели .

Точечный прогноз:

тыс. у.е.

, .

Интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

тыс. у.е., тыс. у.е.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего цены поступивших автомобилей по второй парной регрессионной модели .

Точечный прогноз:

тыс. у.е.

Интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:

тыс. у.е., тыс. у.е.

2. Множественная зависимость

2.1 Используем табл. 1.

i yi xi1 xi12 уiхi1 xi2 хi22 уiхi2 уi2 xi1? xi2

1 8,3 6,0 36,0 49,8 88 7744,0 730,4 68,9 528

2 17,9 3,0 9,0 53,7 160 25600,0 2864 320,4 480

3 11,2 5,0 25,0 56 105 11025,0 1176 125,4 525

4 17,2 4,0 16,0 68,8 165 27225,0 2838 295,8 660

5 9,4 5,5 30,3 51,7 88 7744,0 827,2 88,4 484

6 15,9 4,0 16,0 63,6 145 21025,0 2305,5 252,8 580

7 6,8 7,0 49,0 47,6 95 9025,0 646 46,2 665

8 10,8 6,0 36,0 64,8 124 15376,0 1339,2 116,6 744

9 15,6 5,0 25,0 78 165 27225,0 2574 243,4 825

10 13,8 3,5 12,3 48,3 112 12544,0 1545,6 190,4 392

11 15,3 3,0 9,0 45,9 120 14400,0 1836 234,1 360

12 14,4 4,5 20,3 64,8 145 21025,0 2088 207,4 652,5

13 15,6 3,5 12,3 54,6 140 19600,0 2184 243,4 490

14 10,6 7,0 49,0 74,2 145 21025,0 1537 112,4 1015

15 11,2 5,5 30,3 61,6 120 14400,0 1344 125,4 660

16 13,4 4,5 20,3 60,3 132 17424,0 1768,8 179,6 594

Сумма 207,4 77 395,5 943,7 2049 272407 27603,7 2850,6 9654,5

, .

Вектор оценок А:

Таким образом, .

2.2

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 4

i y х1 x2 у^ у-у^ (у-у^)2

1 8,3 6,0 88 10,4 2,1 4,23

2 17,9 3,0 160 17,9 0,0 0,00

3 11,2 5,0 105 12,7 1,5 2,13

4 17,2 4,0 165 16,3 -0,9 0,74

5 9,4 5,5 88 11,2 1,8 3,37

6 15,9 4,0 145 15,7 -0,2 0,04

7 6,8 7,0 95 8,8 2,0 4,08

8 10,8 6,0 124 11,5 0,7 0,50

9 15,6 5,0 165 14,6 -1,0 1,04

10 13,8 3,5 112 15,5 1,7 2,97

11 15,3 3,0 120 16,7 1,4 1,85

12 14,4 4,5 145 14,8 0,4 0,18

13 15,6 3,5 140 16,4 0,8 0,67

14 10,6 7,0 145 10,4 -0,2 0,03

15 11,2 5,5 120 12,3 1,1 1,12

16 13,4 4,5 132 14,4 1,0 1,01

Сумма 207,4 77,0 2049,0 219,6 12,2 24,0

Среднее 13,0 4,8 128,1 13,7 0,8 1,5

Коэффициент детерминации: ,

Коэффициент множественной корреляции . Следовательно, регрессия у на х1 и х2 объясняет 92% колебаний значений. Это свидетельствует о значительном суммарном влиянии независимых переменных х1 и х2 на зависимую переменную у.

При уровне значимости 0,1 и df1 = 2 df2 = 13 табличное значение Fт = 2,76. Неравенство Fт

2.3

Определяем вектор независимых переменных . Находим точечный прогноз:

тыс.у.е.

, .

.

Пусть 1 - ? = 0,9, тогда . Поэтому:

тыс. у.е., тыс. у.е.

Представим результаты вычислений в виде таблицы:

Таблица 5

хр Точечный прогноз y^(xp) Sу^ Интервальный

Прогноз

y^B y^H

(1;3;165) 18,1 0,34 17,5 18,7

3. На основе полученных в п.п. 1 и 2 статистических характеристик проведем экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя. Рассмотрим сначала зависимость цены от возраста. Т.к. , и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основания утверждать, что между переменными у и х1 существует достаточно тесная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии . Коэффициент 23,4 в данном случае имеет экономический смысл. Он формально определяет цену автомобиля при х1=0, т.е. цену нового автомобиля. Коэффициент -2,18 также имеет вполне определенный экономический смысл, поскольку характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста на единицу, т.е. при увеличении возраста на 1 год следует ожидать уменьшения цены на 2,18 тыс. у. е. Это уравнение характеризует среднее значение цены в зависимости от возраста автомобиля.

Значение свидетельствует о том, что между переменными у и х2 существует положительная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии . Коэффициент 0,11 также характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом мощности двигателя на единицу, т.е. при увеличении мощности на 1 л.с. следует ожидать увеличения цены на 0,11 тыс. у. е.

В результате исследования зависимости цены автомобиля от двух факторов - возраста и мощности двигателя - получено уравнение множественной регрессии . Содержательный экономический смысл найденных коэффициентов в следующем: Величина -1,76 показывает, что при увеличении возраста на 1 год и фиксированной мощности следует ожидать уменьшения цены на 1,76 тыс. у. е. Величина 0, 032 показывает, что при увеличении мощности на 1 л.с. и фиксированном возрасте следует ожидать увеличения цены на 0,032 тыс. у. е.

Некоторое различие в полученных результатах на основе анализа парной регрессии и множественной регрессии можно объяснить следующим: исследуя зависимость у от х1, мы исходим из того, что на цену влияет один единственный фактор - его возраст, а все остальные не учитывались (отбрасывались). Очевидно, что в реальности на цену влияет множество факторов: вес, расход топлива, разгон, регион производителя и др. Поэтому, рассматривая модель , мы фактически объединили все влияющие факторы на у в один - возраст автомобиля. Точно такое же объединение имело место при рассмотрении модели .

Задача 2. Временной ряд:

В базе данных магазина содержится информация об объеме ежемесячных продаж автомобилей за прошлый год, представленная в табл.2

Месяц, i Объем продаж, тыс. у.е., Zi

1 208

2 209

3 239

4 263

5 274

6 293

7 258

8 293

9 321

10 307

11 324

12 324

1. Представить графически объемы продаж от времени

2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда.

Вспомогательная таблица:

i yt ytt t2

1 208 208 1

2 209 418 4

3 239 717 9

4 263 1052 16

5 274 1370 25

6 293 1758 36

7 258 1806 49

8 293 2344 64

9 321 2889 81

10 307 3070 100

11 324 3564 121

12 324 3888 144

78 3313 23084 650

, .

.

Пусть 1 - ? = 0,975, тогда . Поэтому:

i yt y^ et et2 t-tcp (t-tcp)^2 y^B y^H

1 208 216 -8 72 -6 36 188 245

2 209 227 -18 336 -5 25 199 256

3 239 238 1 1 -4 16 209 267

4 263 249 14 196 -3 9 220 278

5 274 260 14 201 -2 4 231 289

6 293 271 22 499 -1 1 242 299

7 258 282 -24 552 1 1 253 310

8 293 292 1 0 2 4 264 321

9 321 303 18 318 3 9 274 332

10 307 314 -7 49 4 16 285 343

11 324 325 -1 1 5 25 296 354

12 324 336 -12 136 6 36 307 364

Точечный прогноз:

Задача 3. Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность.

Найдена модель зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя:

. Проверим, имеет ли место автокорреляция ошибок этой модели. Найдем значение числителя и знаменателя в формуле:

.

Таблица 6

i y yt et et2 еt-et-1 еt-et-12

1 8,3 10,356 2,1 4,2 0

2 17,9 17,94 0,0 0,0 2,0 4

3 11,2 12,66 1,5 2,1 -1,4 2

4 17,2 16,34 -0,9 0,7 2,3 5

5 9,4 11,236 1,8 3,4 -2,7 7

6 15,9 15,7 -0,2 0,0 2,0 4

7 6,8 8,82 2,0 4,1 -2,2 5

8 10,8 11,508 0,7 0,5 1,3 2

9 15,6 14,58 -1,0 1,0 1,7 3

10 13,8 15,524 1,7 3,0 -2,7 8

11 15,3 16,66 1,4 1,8 0,4 0

12 14,4 14,82 0,4 0,2 0,9 1

13 15,6 16,42 0,8 0,7 -0,4 0

14 10,6 10,42 -0,2 0,0 1,0 1

15 11,2 12,26 1,1 1,1 -1,2 2

16 13,4 14,404 1,0 1,0 0,1 0

Сумма 207,4 219,65 12,25 23,97 1,05 43,76

Значение знаменателя равно 23,97.

Значение числителя равно 43,76. . В исследуемой ситуации число наблюдений n=16, число независимых переменных m = 2. По условию уровень значимости ? = 0,05. По таблице находим dl = 0,98 du = 1,54. В нашем случае du

Сформируем таблицу:

Таблица 7

I Zt Z^ ei ei2 ei-ei-1 ei-ei-12

1 208 216 -8 72 -

2 209 227 -18 336 9,84 96,7

3 239 238 1 1 -19,16 367,3

4 263 249 14 196 -13,16 173,3

5 274 260 14 201 -0,16 0,0

6 293 271 22 499 -8,16 66,7

7 258 282 -24 552 45,84 2100,9

8 293 292 1 0 -24,16 583,9

9 321 303 18 318 -17,16 294,6

10 307 314 -7 49 24,84 616,8

11 324 325 -1 1 -6,16 38,0

12 324 336 -12 136 10,84 117,4

Сумма 3313 368 0 2361,05 3,19 4455,65

По таблице находим, что при ? = 0,05, n = 12 и m = 1 dн = 0,971, dв = 1,331. Т.к. , то принимается основная гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции колебаний модели.

3.2 Для расчета парного коэффициента корреляции построим вспомогательную таблицу:

Таблица 8

i yi xi1 xi12 xi2 хi22 xi1? xi2

1 8,3 6 36 88 7744 528

2 17,9 3 9 160 25600 480

3 11,2 5 25 105 11025 525

4 17,2 4 16 165 27225 660

5 9,4 5,5 30,3 88 7744 484

6 15,9 4 16 145 21025 580

7 6,8 7 49 95 9025 665

8 10,8 6 36 124 15376 744

9 15,6 5 25 165 27225 825

10 13,8 3,5 12,3 112 12544 392

11 15,3 3 9 120 14400 360

12 14,4 4,5 20,3 145 21025 652,5

13 15,6 3,5 12,3 140 19600 490

14 10,6 7 49 145 21025 1015

15 11,2 5,5 30,3 120 14400 660

16 13,4 4,5 20,3 132 17424 594

Сумма 207,4 77 395,5 2049 272407 9654,5

Среднее 12,96 4,81 24,72 128,06 17025,44 603,41

, ,

, , определяем

, поскольку значение коэффициента корреляции невысокое, то, мультиколлинеарность переменных х1 и х2 слабая. Проверим эту гипотезу по критерию "хи-квадрат":

Корреляционная матрица имеет вид ,

.

Рассчитаем значение "хи-статистики":

.

По таблице находим, что при ? = 0,05 и k=m(m-1)/2=1 находим ?20,95,1=3,841. Т.к. ?2< ?20,95,1, то гипотеза об отсутствии мультиколлинеарности не отвергается при уровне значимости 0,05.

Примечаний нет.